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Anlagen(-sicherheit) und Technik


Deterministik und Probabilistik bei der Sicherheitsbeurteilung technischer Anlagen

(Auszug aus: Probabilistische Risiko- und Sicherheitsanalysen und ihre Anwendungsbereiche, in: G. Kreysa, O.-U. Langer und N. Pfeil, Quantitative Risikoanalyse – Quo vadis?
Praxis der Sicherheitstechnik, Vol. 7, DECHEMA, Frankfurt a. M. 2006)


Die Auslegung technischer Anlagen erfolgt im Allgemeinen deterministisch. Dabei werden Beschaffenheitsanforderungen an die benötigten Komponenten, Aggregate usw. vorgeben und entsprechende Rechnungen durchgeführt. Aus ihnen wird, unter Berücksichtigung von Sicherheitsfaktoren, deren Dimensionierung abgeleitet.

Diese Vorgehensweise entspringt einem Denken, das charakteristisch ist für die klassische Physik. Es beinhaltet, dass der Zustand eines Systems zu einer bestimmten Zeit den Zustand zu einer späteren Zeit (bei fester Umwelt) eindeutig determiniert /1/.

Ein solches Verhalten wird im Allgemeinen durch lineare Differentialgleichungen beschrieben. Dies ist im Makroskopischen generell möglich, gilt aber bekanntermassen nicht im Bereich der Quantenphysik (vgl. /1/). Ihre Modelle beruhen auf Wahrscheinlichkeiten, sind also probabilistisch.


Der Weg von der Deterministik zur Probabilistik bei technischen Fragestellungen soll nachfolgend an einem beispielhaften Gedankenexperiment verdeutlicht werden.


Wird eine Kugel in eine bestimmte Richtung geworfen, so lässt sich der Punkt ihrer Landung vorhersagen, wenn

vorgegeben sind und der Einfluss des Luftwiderstandes (wegen ihrer stromlinienförmigen Geometrie) vernachlässigt werden darf. D.h. durch die Anfangsbedingungen ist die Flugbahn eindeutig festgelegt (determiniert). Wäre diese Kugel nun ein Bruchstück aus einem Explosionsprozeß, so wäre es schwierig, wenn nicht gar unmöglich, Flugrichtung und Anfangsgeschwindigkeit vorherzusagen. Infolgedessen würde die Berechnung der weiteren Flugbahn unmöglich.

Aus Beobachtungen der Vergangenheit könnte aber bekannt sein, welche Flugrichtung und Anfangsgeschwindigkeit im Mittel zu erwarten sind. Ihre Verwendung erlaubte es dann, eine mittlere Flugbahn zu berechnen. Die Tatsache, dass Mittelwerte angegeben werden, deutet darauf hin, dass es sich um Zufallsvariablen (stochastische Variablen) handelt, d.h. um Größen, die bestimmte Werte mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten annehmen. Solche Variable werden üblicherweise durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen (vgl. /2/) beschrieben. Die Mittelwertbildung stellt somit eine Reduzierung der Information dar, die in der Wahrscheinlichkeitsverteilung enthalten ist. Würde man die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Flugrichtung und Anfangsgeschwindigkeit bei den Rechnungen berücksichtigen, so hätte man es mit einer deterministischen Rechnung mit stochastischen Anfangsbedingungen zu tun. Statt eines Punktes der Landung, ergäbe sich dann allerdings eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Landepunkte, mithin ein probabilistisches Ergebnis (vgl. /3/). An einem Beispiel wird dies im Bild 1 dargestellt.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung F(x) (Ordinate) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Reichweite kleiner oder gleich dem zugehörigen Abszissenwert ist. Man sieht, dass Flugweiten, die größer sind als der Mittelwert von 40,8 m, auftreten können. Bei Verwendung des Mittelwertes käme es also zu einer Unterschätzung, was im Zusammenhang mit Sicherheitsuntersuchungen als „nicht konservativ“ bezeichnet würde.





















Bild 1: Wahrscheinlichkeitsverteilung F(x) für Flugweiten (Anfangsgeschwindigkeit v0 gleichverteilt zwischen 10 m/s und 30 m/s, Abflugwinkel gleichverteilt zwischen 0° und 90°, die Flugweite bei Benutzung der entsprechenden Mittelwerten (20 m/s, 45°) beträgt die (maximale) Flugweite 40,8 m)


Legte man andererseits die maximale Geschwindigkeit von 30 m/s zugrunde, so wäre man übermässig konservativ; es ergäbe sich nämlich eine maximale Weite von 91,7 m (beim Abflugwinkel 45°), ein höchst unwahrscheinlicher Extremfall.

Stellen wir uns nunmehr vor, anstelle der Kugel hätten wir es mit einem Bruchstück aus dem Zerplatzen eines Behälters zu tun. Dann wären neben Anfangsrichtung- und Geschwindigkeit beispielsweise auch die Masse und Geometrie des Bruchstücks Zufallsvariable. Hinzu käme, dass sich die Orientierung des Stückes während des Fluges änderte. Der Luftwiderstand und eigentlich sogar seine Änderung infolge Lageänderung des Trümmerstücks während des Fluges müssten berücksichtigt werden. Die Koeffizienten der entsprechenden Differentialgleichung wären dann ebenfalls stochastischer Natur. Auch diese Fragestellung ist probabilistisch. Sie wird z.B. in /4/, /5/ behandelt.

      Deterministik / Probabilistik


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    Literaturhinweise (nur Beispiele)
1.
Weizsäcker, C.F. V.:  Aufbau der Physik, dtv, München 1988
2.
Hartung, J.:  Statistik: Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik,
R. Oldenbourg Verlag, München 1991
3.
Saatry, T.L.:  Modern Nonlinear Equations,  Dover Publications, Inc., New York 1981
4.
Hauptmanns, U.: A procedure for analysing the flight of missiles from explosions of cylindrical vessels,
Journal of Loss Prevention in the Process Industries 14 (2001) 395-402
5.
Hauptmanns, U.: A Monte-Carlo based procedure for treating the flight of missiles from tank explosions, Journal of Probabilistic Engineering Mechanics, Vol. 16, pp. 307-312, 2001
6.
Dillström, P. and F.Nilsson: Probabilistic Fracture Mechanics, In: Milne, I., Ritchie, R.O. and B. Karihaloo, Comprehensive Structural Integrity, Amsterdam, 2003
7.
Hauptmanns, U.:  A Risk-based Approach to Land-Use Planning, Journal of Hazardous Materials A125 (2005) 1–9


Fortsetzung
Deterministik und Probabilistik bei der Sicherheitsbeurteilung technischer Anlagen


Es spricht also Einiges für die Aussage: “Das Verhalten von Naturphänomenen wird durch den Zufall bestimmt und folgt nicht streng deterministischen Gesetzen“ /3/.

Dies gilt insbesondere im Bereich der Anlagensicherheit; denn der Zeitpunkt des Eintritts eines Störfalls und das damit verbundene Schadensausmaß sind Zufallsvariable. Sie können im Mittel, aber nicht im Detail, d.h. für einen konkreten Fall, vorhergesagt werden.

Dies legt eine  probabilistische Modellierung nahe. Sie ist umfassender als die herkömmliche deterministische. Deshalb werden komplexere Modelle und somit auch mehr Eingangsdaten benötigt als im deterministischen Fall. Es handelt sich also um eine Modellierung auf einer höheren Ebene, die im Allgemeinen besser abgesicherte Ergebnisse und somit auch verbesserte Entscheidungsgrundlagen liefert.

Allerdings wird die Qualität einer Analyse bestimmt durch die Qualität der Modellierung und die Qualität der zugehörigen Eingangsdaten. Ein einfaches Modell mit wenigen aber gut abgesicherten Eingangsdaten kann deshalb u. U. realistischere Ergebnisse erzeugen als ein komplexes Modell, für das nicht ausreichend gute Eingangsdaten zur Verfügung stehen. Was der bessere Weg ist, muss in Ansehung der jeweiligen Analyserandbedingungen entschieden werden.

Bei dem vorangehenden Beispiel aus dem Bereich der Unfallfolgen geht es um stetige Variable (Position, Geschwindigkeit etc.), deren Verlauf durch stochastische Differentialgleichungen beschrieben wird. Mit solchen hat man es zum Beispiel auch in der Strukturmechanik zu tun. Die Berücksichtigung des stochastischen Charakters, beispielsweise von  Belastung und Materialwiderstand, erlaubt es dort, die Versagenswahrscheinlichkeit von Strukturen vorherzusagen /6/. Dabei kann es sich natürlich auch um passive Komponenten in Chemieanlagen, beispielsweise Rohrleitungen und Behälter handeln. Die genannten Überlegungen haben zum Gebiet der probabilistischen Strukturmechanik geführt. Aber auch im Bereich der Störfallfolgenabschätzung /7/ oder bei der Auslegung von Anlagen werden stochastische Gleichungen oder Differentialgleichungen zur Modellierung herangezogen /8/.

Eine Chemieanlage nutzt neben passiven Komponenten auch zahlreiche aktive Komponenten, z.B. Regelventile. Deren Lebensdauern lassen sich derzeit nicht mit Hilfe von Differentialgleichungen abschätzen. Stattdessen werden sie durch ein statistisches Modell beschrieben, das in Abhängigkeit von der Zeit die Wahrscheinlichkeit für das Komponentenversagen angibt. In probabilistischen Risiko- und Sicherheitsuntersuchungen werden die Komponenten durch binäre Variable beschrieben, d.h. ihr Verhalten wird lediglich durch die zwei Zustände „intakt“ oder „ausgefallen“ charakterisiert. Diese binären Variablen sind unstetige stochastische Größen, sie nehmen also ihre beiden Zustände mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit an, die vom betrachteten Zeitpunkt, aber auch beispielsweise von der verwendeten Wartungsstrategie abhängt.

Bei der Ermittlung des Risikos technischer Anlagen geht es um die Abschätzung der erwarteten Häufigkeit unerwünschter Ereignisse, beispielsweise der Freisetzung eines toxischen Gases, und des mit diesem Ereignis verbundenen Schadensausmaßes (Störfallfolgenabschätzung).


Beispiel für eine probabilistische Risikountersuchung: Flughafen Frankfurt Landebahn Nordwest


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